수능 문제를 풀거나 대학 수학 과제 등을 하다 보면, 문제 속 함수의 그래프 개형을 컴퓨터가 그려줬으면 좋겠다 라는 생각이 가끔 들 때가 있습니다. 특히나 복잡하고 개형을 생각하기 힘든 함수일수록 더더욱 그러한 생각이 들 때가 많습니다.
위 그래프는 (x^2 + y^2 - 1)^3 - x^2y^3 = 0이라는 음함수의 그래프인데요. 하트 모양의 그래프를 가지고 있습니다. 정말 신기하죠? 이런 함수들은 딱 함수를 처음 봤을 때 머릿속에 그래프 개형이 쉽게 그려지지 않습니다.
이럴 때 필요한 것이 바로 이러한 방정식이나 함수들의 그래프를 그려주는 프로그램입니다. 위와 같은 하트 함수 말고도, 평소에 대학 과제를 하실 때나 혹은 실무에서 일하시는 분들, 또는 수능 수학 킬러 문제를 풀다가 도저히 그래프가 복잡해서 머리에 안 떠오른다! 할 때 꼭 필요한 프로그램이라고 생각합니다.
그래서 이번 포스팅에서는 다양한 함수의 그래프를 그려주는 사이트 몇 곳을 추천드리려고 합니다.
특히 용도에 따라서 추천드리는 사이트가 다릅니다. 따라서 추천 목록을 보시면서, 각 사이트별로 특징이 있으니 참고해주세요!
1. Desmos - 쉽고 빠르게 그래프를 그려주는 사이트
https://www.desmos.com/calculator
Desmos는 여러가지 함수의 그래프를 그려주는 사이트인데, 제가 지금까지 알고 있는 사이트들 중 제일 직관적이고 속도가 빠릅니다. 수식을 입력하면 불과 0.00001초도 되지 않아서 그래프가 뚝딱 하고 그려집니다.
만약에 여러분들이 빠르고 간편하게 딱 그래프만 알고 싶다! 하면 이 사이트를 추천드립니다.
위 그래프는 y=x^2sin(1/x)의 그래프를 Desmos를 통해 그린 모습인데요. 정말 수식만 입력하니까 아무런 대기시간 없이 쉽고 간편하게 그래프가 뚝딱 나왔습니다. 위처럼 복잡한 함수의 그래프의 개형을 간단하게 알아보고 싶을 때 Desmos를 이용하면 좋습니다!
Desmos로는 여러가지 기능을 이용할 수 있는데요, 먼저 그래프를 확대하거나 축소할 수 있습니다!.
또한 한개의 그래프가 아닌 여러 개의 그래프를 동시에 그릴 수도 있습니다.
그다음으로는 상수값을 도입하여, 상수의 변화에 따라 그래프 개형이나 교점이 어떻게 달라지는지를 직관적으로 실시간 확인할 수 있습니다!
예를 들어 y=(x-a)^2(x-2a)의 함수 그래프 개형이 a의 값에 따라 어떻게 바뀌는지 알아보고 싶다면, 위 빨간색 화살표가 가리키는 스크롤바를 움직여가면서 관찰하시면 됩니다! a값에 따라 그래프의 모양이 어떻게 변화하는지 관찰하실 수 있습니다. 특히 왼쪽에 있는 재생(▶) 버튼을 누르시면 자동으로 스크롤이 움직이면서 a값에 따라 변하는 그래프의 모습을 살펴보실 수 있습니다.
마찬가지로 y=f(x)와 y=a의 교점의 개수가 어떻게 변하는지도 관찰하실 수 있습니다. Desmos에서는 여러 개의 함수를 동시에 그릴 수 있기 때문에 가능한 일이죠.
2. Geogebra - 3차원 그래프를 그리고 싶을 때 유용한 사이트
다음으로 소개해드릴 사이트는 Geogebra의 3차원 계산기입니다.
아까 말씀드렸던 Desmos는 2차원 그래프밖에 그릴 수 없었는데요, 이 Geogebra는 무려 3차원 그래프를 그릴 수 있습니다.
이런 식으로 3차원 그래프를 그릴 수 있다는 것이 Geogebra의 특징적인 매력입니다.
또한 Geogebra에서는 Desmos와 마찬가지로 여러가지의 그래프를 동시에 그릴 수 있고, 상수의 변화에 따라 그래프의 개형이나 교점이 어떻게 바뀌는 지도 관찰하실 수 있습니다.
Desmos만큼은 아니지만 Geogebra도 수식을 입력하면 거의 실시간으로 그래프가 나오는 것이 좋습니다.
또한 Geogebra에서는 이렇게 다양한 도구를 제공합니다. 따라서 조금 더 프로그램을 다양한 방법으로 이용하실 수 있습니다.
또 Desmos보다는 조금 더 복잡한 설정이 가능해 보입니다. 저도 이 부분에 대해서는 정확하게 모르겠으나, "스크립트" 항목에 자바스크립트 같은걸 넣을 수 있는 것 같습니다. 그래서 코딩을 잘하시는 분들은 이 프로그램을 조금 더 자유롭게 활용할 수 있을 것으로 생각됩니다.
한편 Geogebra에도 desmos처럼 2d그래프를 그려주는 사이트가 있습니다. 하지만 제 주관적인 입장으로는 desmos보다 느리고 무거운 것 같습니다. 그래서 개인적으로는 비추드리지만, 그래도 혹시 몰라 링크를 알려드리자면 https://www.geogebra.org/calculator입니다.
3. WolframAlpha(울프람알파) - 함수의 다양한 특징을 살펴볼 수 있는 사이트
마지막으로 소개해드릴 울프람알파(WolframAlpha)는, 좀 전에 소개해 드린 두 사이트와 달리 함수의 그래프를 그리는 데에 특화되어 있기보다는 함수의 특징에 대해 분석해주는 사이트입니다.
물론 WolframAlpha로도 그래프가 그려지긴 하나, 확대나 축소, 그리고 이동같은 것은 하지 못합니다. (사실 할 수는 있는데, Pro 버전에서 유료로 구매를 해야 가능합니다.)
그 대신 WolframAlpha의 차별화된 장점은 바로 함수를 분석해준다는 데에 있습니다! 어떤 함수를 입력하면, 함수의 실근을 구해주고, 또 함수를 또 다른 식으로 나타내면 어떻게 표현이 되는지 등등의 결과를 보여줍니다. 위 스샷의 경우에는 오일러 공식을 통하여 저 삼각함수를 표현해준 모습을 보실 수 있습니다.
울프람알파는 다양한 명령어를 통해서 이용할 수 있는데, 예를들어 derive x^2-2x+1이라고 검색창에 치면 x^2-2x+1을 미분한 2x-2가 결과창에 뜨게 됩니다. 반대로 integral x^2-2x+1을 치면 역도함수가 결과창에 뜨고요.
사실 울프람알파는 함수를 분석해주는 것뿐만 아니라 거의 만능 수준으로 다양한 작업을 할 수 있습니다. 행렬 계산도 할 수 있고, 물리학이나 화학 계산도 할 수 있습니다. 울프람알파를 알아두시면 나중에 유용하게 써먹을 수 있는 상황이 많이 생길 것입니다. 그러니 한번 사이트에 들어가 보셔서 다양한 명령어와 사용법을 익혀보시는 것을 추천드립니다.
요악 및 정리
지금까지 다양한 그래프를 그려주는 사이트들에 대해 알아보았습니다. 이러한 사이트를 특징과 사용자의 목적 별로 분류하자면 다음과 같습니다.
1. 나는 쉽고 빠르게 그래프를 그려주는 사이트를 이용하고 싶다 -> Desmos (https://www.desmos.com/calculator)
2. 나는 3차원 그래프를 그려주는 사이트를 이용하고 싶다 -> Geogebra (https://www.geogebra.org/3d)
3. 나는 함수를 분석해주는 사이트를 이용하고 싶다 -> WolframAlpha (https://www.wolframalpha.com/)
이러한 사이트들을 잘 숙지하셔서 기회가 될 때 꼭 유용하게 사용하시길 바랍니다!
